Hoje foi nossa última aula, fiz vários problemas como revisão para a P3. Também vimos a forma explícita do operador de reversão temporal para spins 1/2, e uma consequência, o teorema de Kramer. Nossa P3 será na próxima segunda-feira, dia 9/7, a partir das 13h20.

Continuamos driblando os jogos da Copa do mundo, com certo sucesso. Na semana que vem, que será a última do curso, teremos aula na quarta 4/7 e sexta 6/7, sem conflito com os horários dos jogos do Brasil.

• Relação entre elementos de matriz de J e qualquer observável vetorial V. Teorema de Wigner-Eckart para operadores vetoriais.
• Simetrias. Comutação com Hamiltoniana e quantidades conservadas. Degenerescências.
• Simetria de paridade. Operador de paridade. Autovalores. Efeito sobre x, p, S, J. Paridade de funções de onda. Teorema relacionando simetria de paridade e estados não-degenerados de energia.
• Exemplos: auto-estados de momento, poço duplo simétrico.
• Paridade e regras de seleção. Operadores pares e ímpares. Não-conservação de paridade.
• Simetria por translações discretas, teorema de Bloch.
• Simetria de inversão temporal (ou de reversão do movimento). Inversão temporal na mecânica clássica. Invariância da equação de Schrodinger sob conjugação e inversão de t.
• Operadores de simetria anti-unitários. Operador de reversão temporal. Elementos de matriz de operadores lineares sob reversão temporal. Reversão temporal sobre auto-estados de x e p. Reversão temporal sobre funções de onda no espaço de posições e momentos.
• Teorema: seja H invariante por inversão temporal, e |n> auto-estado de H não-degenerado. Então |n> pode ser escolhido real.

O que vimos está nas notas de aula do cap. 4, páginas 34 a 38, e cap. 5, páginas 1 a 18.

A lista 7 está disponível, mas não será necessário entregá-la, são problemas que servem como preparação para a P3. As notas da P2 já saíram.

• Relação de recorrência para calcular os coeficientes de Clebsch-Gordan.
• Operadores escalares.
• Operadores vetoriais. Elementos de matriz de operadores escalares e vetoriais. Regras de seleção para elementos de matriz de operadores vetoriais.

O que vimos está nas notas de aula do cap. 4, páginas 28 a 34.

Façam o Quizz #9 até 13h de quarta, 20/6. A lista 6 deve ser entregue até segunda, 25/6, no início da aula.

• Adição de momento angular: exemplo de 2 spins 1/2.
• Teoria formal de adição de momento angular. Bases de observáveis locais e globais. Coeficientes de Clebsch-Gordan como representação de vetores-base de uma dessas bases na outra.
• Propriedades dos coeficientes de Clebsh-Gordan. Como usar uma tabela de coeficientes de Clebsch-Gordan, dois probleminhas.

O que vimos está nas notas de aula do cap. 4, páginas 23 a 28d.

• Momento angular orbital: operadores L_z, L^2 na base de posições.
• Harmônicos esféricos e propriedades. Relação entre harmônicos esféricos e operadores de rotação.
• Introdução à adição de momento angular.

O que vimos está nas notas de aula do cap. 4, páginas 16 a 23. Façam o Quizz #8 até 13h de quarta, 13/6.

Hoje fizemos uma aula de exercícios, como revisão para a prova, que será na próxima quarta-feira, 6/6, a partir das 13h20.

Devido ao desabastecimento e problemas de transporte, o reitor se posicionou para suspender as atividades não-essenciais da universidade até 3/6. Por isso, não teremos aula nessa quarta 30/5. Nossa próxima aula (de problemas e revisão) será só na segunda 4/6, e a lista 5 deve ser entregue nesse dia. A P2 fica adiada para quarta 6/6.

• Calculando elementos de matriz de J^2, J_z e J_+.
• Representações do op. de rotação. Reduzindo o problema de encontrar os elementos de matriz do operador de rotação ao problema de encontrar elementos de matriz de rotações em torno de um eixo diferente do z (no nosso caso, y).
• Calculamos os operadores de rotação explicitamente para spin 1/2 e spin 1.
• Momento angular orbital: introdução.

O que vimos está nas notas de aula do cap. 4, páginas 11 a 17. Não haverá aula na próxima segunda-feira, 28/5 (estarei numa banca). Lembro da lista 5, entrega na quarta 30/5. Na quarta 30/5 resolverei problemas das listas 4 e 5, e talvez outros. Pretendo indicar aqui problemas relativos a dinâmica, diferentes daqueles propostos nas listas. A matéria da prova do dia 4/6 é o cap. 4, ou seja, não cairá a matéria sobre momento angular.

Outros problemas recomendados: Sakurai 2.22, 2.25. Ballentine 11.4, 11.5, 11.6, 11.10.

• Equação de continuidade de probabilidade, e sua modificação para o caso de partícula carregada em campo eletromagnético.
• Transformações de calibre: transformando E, B e psi, de forma a não mudarmos a equação de onda. Vimos explicitamente que o momento canônico p muda com transformações de calibre, enquanto que o momento cinemático é invariante.
• Efeito Aharonov-Bohm.
• Partícula carregada em campo magnético constante: energias, autofunções da energia, interpretação usando coordenadas do centro de órbita.
• Introdução à teoria do momento angular. Não comutatividade de rotações. Matrizes de rotação. Rotações infinitesimais, geradores de rotações. Não-comutação dos componentes do momento angular como consequência da não-comutação das rotações.
• Rotações de spin 1/2. Precessão como rotação. Fato curioso: a função de onda ganha uma fase -1 com rotação de 2*Pi.
• Encontramos os auto-valores de J^2 e J_z.

O que vimos está nas notas de aula do cap. 3 (p. 34 até o final) e cap. 4 (p. 1 a 10). Acrescentei 3 páginas às notas de aula do cap. 3, correspondentes ao que vimos sobre partícula carregada em B uniforme.

A lista 5 já está disponível, para entrega na quarta 30/5.

• Amplitudes de transição.
• Princípio de incerteza energia/tempo.
• Oscilador harmônico quântico. Operadores de criação e aniquilação, operador número. Auto-estados de energia (e do operador número). Espectro. Elementos de matriz de x e p. Variâncias de x e p para o estado fundamental. Evolução temporal do OH.
• Estados coerentes do OH: são de incerteza mínima, e seus valores esperados oscilam com um OH clássico. Matematicamente, vimos que são auto-estados do operador de aniquilação. Energia de estados coerentes. Estados coerentes como o estado fundamental transladado no espaço de fase.
• Potenciais e transformações de calibre. Diferenças de potencial são observáveis. Experimento de Colella, Overhauser e Werner, observando interferência quântica induzida pela gravidade, usando feixes de nêutrons.
• Transformações de calibre no eletromagnetismo. Momento canônico e mecânico (ou cinemático). Versão quântica da lei de força de Lorentz.

O que vimos está nas notas de aula do cap. 3, páginas 14 a 34.

• Hoje discutimos a prova, as notas já saíram.
• Equação de movimento para observáveis, na representação de Heisenberg.
• Teorema de Ehrenfest para partícula livre. Idem, partícula sujeita a potencial. Dispersão, com o tempo, da função de onda.
• Como os autovetores de um observável mudam com o tempo.

O que vimos está nas notas de aula do cap. 3, páginas 8 a 12.

Estou planejando dar aulas extras nas sextas-feiras 11/5 e 18/5. A P2 foi adiada para o dia 30/5. A lista 4 já está disponível, vocês já podem ir adiantando os problemas 1 a 4.

• Operador de evolução temporal. Equação de Schrodinger. 3 casos: H indep. de t; H dependente de t, mas de forma a que [H(t), H(t')]=0; H dependente de t de forma arbitrária.
• Evolução de auto-estados de energia, e de superposições de auto-estados de energia.
• Exceto se dissermos o contrário, daqui para a frente vamos discutir somente H independentes de t.
• Roteiro para resolver dinâmica com condições iniciais dadas, para H indep. de t.
• Como valores esperados de observável arbitrário dependem de t.
• Exemplo: precessão de spin 1/2 em campo B estático.
• Representação de Schrodinger e de Heisenberg para a dinâmica (introdução).

O que vimos está nas notas de aula do cap. 3, páginas 1 a 7. Façam o Quizz n. 7 até 13h de segunda-feira, 7/5.

Aviso: na semana que vem não teremos aulas - a segunda é feriado e na quarta estarei participando de banca de concurso em outra cidade. Depois de quarta 25/4, nossa próxima aula será na segunda 7/5.

• Hoje tivemos nossa P1.

Lembro que não haverá aula na próxima segunda, 23/4, já que é feriado e recesso oficial no calendário da UFF.

• Não-localidade da mecânica quântica. Descrevi a desigualdade de Bell conhecida como CHSH (Clauser-Horne-Shimony-Holt), e como a MQ viola essa desigualdade.
• Devolvi as listas 1 e 2 corrigidas, e discutimos vários problemas das 3 listas, como revisão para a nossa primeira prova, que será nesta quarta-feira, 18/4, a partir das 13h20.

• Começamos revisando como se faz para calcular uma matriz densidade reduzida. Em seguir, fizemos esse cálculo para os 4 estados de Bell, descobrindo que em todos os casos elas são proporcionais à identidade.
• Distinguimos a distinguibilidade dos estados - indistinguíveis só com medições locais e sem colaboração entre as partes, mas distinguíveis caso as partes colaborem ou juntem as partes. Vimos que isso pode ser usado num protocolo conhecido como compartilhamento quântico de segredos.
• Codificação densa: usando um par de qbits emaranhados anteriormente compartilhados, Alice pode fazer operações locais no seu qbit, enviando-o em seguida para Bob, que consegue receber 2 bits de comunicação mediante esse único qbit enviado.
• Vimos que caso fosse possível distinguir as preparações usadas para preparar uma matriz densidade, seria possível fazer comunicação superluminal.
• Vimos sobre o teorema da não-clonagem, e o protocolo de teletransporte quântico.
• Em seguida vimos como esse protocolo pode ser usado para modelar viagem no tempo.
• Discutimos uma maneira de definir uma tarefa, a ser resolvida por 2 caixas separadas. Vimos que a probabilidade das caixas ganharem o jogo é no máximo 3/4; no entanto, a mecânica quântica ganha com probabilidade aproximadamente 0,85 - veremos mais sobre isso na próxima semana.

O que vimos está nas notas de aula do final do cap. 2, e em slides que disponibilizei sobre teletransporte e sobre a tarefa (equivalente ao teste de não-localidade de CHSH).

Vejam também essas notas de aula de Robert Griffiths sobre o teorema da não-clonagem, codificação densa e teletransporte.

• Pacotes de onda Gaussianos: valores esperados para potências de x e p; variâncias. São estados com produto mínimo de incertezas para x e p. Generalizando as bases x e p para o caso de partículas em 3 dimensões.
• Formalismo da matriz densidade. Reescrevendo o valor esperado de um observável usando o traço e o projetor em estado puro. Criando um ensemble probabilístico de estados puros, e calculando o valor esperado de observável para esse estado misto (mistura estatística). Assim, definimos a matriz densidade que representa a mistura.
• Propriedades da matriz-densidade: Hermitiana, operador positivo, semi-definido, traço é um.
• Propriedades do espectro de matrizes-densidade: autovalores têm interpretação de probabilidades.
• Espaço de matrizes-densidade é convexo.
• Estados puros versus estados mistos - como identificá-los. Como é o espectro. Teorema: rho puro não pode ser escrito como combinação convexa de outros estados, enquanto qualquer estado misto pode. Exemplo. Múltiplas decomposições de uma mesma matriz densidade. Exemplos de matrizes-densidade de spins 1/2.
• A outra forma como aparecem naturalmente matrizes-densidade: na descrição de partes de um sistema quântico composto. Definindo uma base de estados para um sistema composto, a partir de bases para o espaço vetorial de cada parte. Produto tensorial de vetores e operadores. Estados produtos, e estados que não podem ser escritos como estados produto: estados emaranhados.
• Propriedades de estados emaranhados. Encontrando a matriz-densidade reduzida, capaz de dar os valores esperados de um observável local. A operação de traço parcial. Exemplo de traço parcial.

O que vimos está nas notas de aula do cap. 1 (p. 56 a 58) e cap. 2 (p. 1 a 15).

Nesta sexta-feira, 6/4 teremos aula extra.

• Translações finitas: forma do operador. Como elas comutam, descobrimos que as componentes do momento angular também comutam.
• Outra maneira de obter as relações de comutação fundamentais de x e p: paralelo com os parênteses de Poisson na mecânica clássica.
• Parênteses matemáticos: definição do que é um grupo matemático, exemplos.
• Função de onda no espaço de posições. Elementos de matrix de um operador, em particular de operador que é função de x.
• Encontrando a forma do operador p na representação de posições.
• Função de onda no espaço dos momentos, transformação entre base de x e base de p, ondas planas. As funções de onda no espaço de posições e momentos se relacionam por uma transformada de Fourier.

O que vimos está nas notas de aula do cap. 1, páginas 49 a 55. Façam o Quizz #6 até 13h de segunda, 2/4. Reparem que a leitura recomendada é o começo das notas de aula do cap. 2, baseadas nas notas de aula do curso de Martin Plenio.

Em relação às próximas semanas: teremos aula extra na próxima sexta, 6/4. A 2a lista já está disponível, deve ser entregue na segunda 9/4. Adiamos a 1a prova para o dia 18/4 (quarta). Teremos, sim, aula no dia 11/4, só viajarei depois da aula nesse dia.

• Postulado: auto-estados de x formam base; x, y, z comutam entre si.
• Operador de translação. Propriedades gerais de operadores que representam transformações parametrizadas por parâmetros contínuos. Teorema de Wigner, operadores unitários e anti-unitários. Gerador das transformações, transformações infinitesimais e finitas.
• Propriedades do operador de translação. Comutador com x. Gerador das translações - analogia com mecânica clássica nos permite identificar o momento com o gerador de translações.

O que vimos está nas notas de aula do cap. 1, páginas 43 a 48. Façam o Quizz #5 até 13h de quarta-feira, 28/3.

No início da aula falei do problema de deteção de bombas de Elitzur e Vaidman. Querem ler sobre um efeito quântico estranho? Uma sugestão é este artigo, que explica o gedankenexperiment do teste de bombas de Elitzur/Vaidman. Este efeito é a base para outros desenvolvimentos, mais recentemente este protocolo de comunicação quântica contra-factual (em certo sentido, sem transmissão de fótons ou outro subsistema! A expressão chave aqui é “em certo sentido”). - leiam mais aqui.

• Prova da relação de incerteza: usamos 3 lemas.
• Exemplo da relação de incerteza, discussão do significado operacional. Mencionei a relação de ruído/perturbação de Ozawa, mas não chegamos a estudá-la.
• Mudando de base - operadores unitários. Representação matricial, ação sobre bras e kets, propriedade invariante do traço. Observáveis equivalentes (sob transformação unitária).
• Posição, momento e translação - só uma introdução de como reescrever várias relações que encontramos de maneira prática para uso com espaços vetoriais descritos por variáveis contínuas.

O que vimos está nas notas de aula, páginas 35 a 42. Façam o Quizz #4 até 13h de segunda-feira, 26/3.

• Observáveis compatíveis. Vimos que se A e B são compatíveis, existe uma base de auto-estados comuns. Como ficam, então, medições sequenciais dessas propriedades. Vimos que observáveis incompatíveis resultam em perturbação (dispersão) nos valores medidos.
• Relação de incerteza (ainda não vimos a prova).

O que vimos está nas notas de aula do cap. 1, páginas 28 a 34.

Lembrem que o prazo para a lista 1 é a próxima quarta, 21/3.

• Postulado 3: qual o estado do sistema pós-medida.
• Definição formal de operador de projeção, exemplos. Projetor em subespaço de dimensão > 1.
• Postulado 3b: qual o estado pós-medida no caso em que obtemos um autovalor degenerado.
• Trabalhando com operadores: encontrando os operadores Hermitianos que representam os componentes do momento angular de um spin 1/2.
• Como definir função de operadores.
• No fim da aula falei sobre contextualidade quântica, dando o exemplo da prova de contextualidade da MQ conhecida como o quadrado mágico de Mermin.

O que vimos está nas notas de aula do cap. 1, páginas 21 a 28. Façam o Quizz #3 até segunda 19/3 às 13h.

Nesta página vocês encontram links para alguns artigos e páginas introdutórias sobre contextualidade quântica. No cap. 2 discutiremos uma outra propriedade relacionada à não-contextualidade, que é a não-localidade quântica (teorema de Bell, etc.).

• Construindo base de autovetores de operador Hermitiano. Se o operador não for normal, pode não ser possível (exemplo simples).
• Relação de completeza. Operadores de projeção. Representações matriciais de operadores, bras e kets em dimensão finita. Traço de um operador. Representação espectral de operadores normais. Exemplos: operadores de spin 1/2.
• Postulado 2: medida. Valor esperado = média de um observável.

O que vimos está nas notas de aula do cap. 1, páginas 13 a 22. Não há quizz para a aula de hoje, mas fiquem ligados, haverá para segunda 19/3.

• Operadores lineares. Representação matricial de operadores em espaços de Hilbert de dimensão finita. Operador diferencial.
• Como operadores lineares operam em bras (ver Ballentine, cap. 1).
• Conjugado Hermitiano, propriedades.
• Operadores Hermitianos: têm autovalores reais, autovetores correspondentes a autovalores diferentes são ortogonais.
• Produto externo.

O que vimos hoje corresponde às notas de aula do cap. 1, até a página 13. Uma coisa que não está nas notas de aula é a descrição de como operadores lineares atuam em bras, vejam isso no Ballentine, cap. 1.

Façam o Quizz #2 até segunda, 12/3 às 13h. Recomendo que comecem a fazer a 1a lista de exercícios.

• Postulado da descrição de estados quânticos por vetores em espaço vetorial complexo. Exemplos de espaços vetoriais, independência linear, base, dimensão.
• Axiomas para espaço vetorial.
• Produto escalar, norma de um vetor.
• Vetores versus raios, fase global. Descrevendo um sistema de 2 níveis (um qbit), usando a esfera de Bloch.
• Desigualdade de Schwarz, desigualdade triangular.
• Espaço vetorial dual ao dos kets - os bras. Bras como funcional linear dos kets. Teorema de Riesz.

O que vimos está nas notas de aula do cap. 1, páginas 4 a 7. Lembrando: teremos aula extra nesta sexta, 9/3, em princípio na mesma sala (528), salvo conflito de ocupação (não parece haver). Não haverá quizz para a próxima aula, mas sugiro a leitura das notas de aula do cap. 1, até a página 18.

Bem-vindos ao curso de MQ1 da pós! Hoje eu apresentei o curso, datas de provas, site, conteúdo, etc. Em seguida discuti o experimento de Stern-Gerlach, que ilustra algumas características importantes da MQ. Também vimos uma demonstração de um experimento análogo, de polarizadores em sequência atuando sobre luz polarizada (no caso, vindo da tela LCD de um laptop).

O que vimos está nas notas de aula do cap. 1, páginas 1 a 4.

Curiosidade mencionada hoje: vejam um vídeo explicando como o olho humano consegue detetar a polarização da luz (o efeito é conhecido como a escova de Haidinger).

Atenção, temos nosso primeiro Quizz! O Quizz #1 deve ser preenchido online até 13h de quarta, 7/3. Para a próxima aula, leiam as páginas 4 a 10 das notas de aula do cap. 1, se puderem leiam as seções de livros-textos indicadas lá.

Já avisando: nesse início de curso estou planejando algumas aulas extras às sextas, de 14h-16h, nos dias: 3/3, 16/3(cancelada), 6/4. A lista de exercícios #1 já está disponível, com o que vimos na 1a aula já dá para fazer o 1o problema.