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Curso de Mecânica Analítica - GFI 00186

1^o semestre de 2019

Prof. Nivaldo A. Lemos

Sala: 518 Torre Nova

Tel.: 2629-5774

nivaldo@if.uff.br e nivaldolemos@id.uff.br

== Ementa ==

1) Introdução: desenvolvimento da mecânica após as leis de Newton, histórico, motivações e aplicações modernas.

2) Dinâmica lagrangiana: sistemas com vínculos; princípio de D'Alembert; coordenadas generalizadas; lagrangiana e equações de Lagrange; forças centrais e teorema de Bertrand.

3) Princípio variacional de Hamilton: elementos do cálculo das variações; princípio de Hamilton e equações de Lagrange; vínculos e multiplicadores de Lagrange; simetrias e leis de conservação; teorema de Noether.

4) Mecânica do corpo rígido: cinemática das rotações; transformações ortogonais; dinâmica em referenciais não-inerciais; tensor de inércia; eixos e momentos principais de inércia; equações de Euler para a rotação de um corpo rígido; ângulos de Euler; pião simétrico com um ponto fixo.

5) Pequenas oscilações: movimento na vizinhança de pontos de estabilidade; oscilador quártico e funções elípticas de Jacobi; pequenas oscilações e sistemas lineares; modos normais de vibração; coordenadas normais.

6) Dinâmica hamiltoniana: equações de Hamilton; espaço de fase; simetrias e leis de conservação; teorema do virial; princípio de Maupertuis.

7) Transformações canônicas: transformações canônicas e funções geradoras; parênteses de Poisson; mecânica hamiltoniana na formulação dos parênteses de Poisson; teoremas de Liouville e da recorrência de Poincaré.

8) Teoria de Hamilton-Jacobi: equação de Hamilton-Jacobi; separação de variáveis; variáveis de ação-ângulo; sistemas integráveis e teorema de Liouville-Arnold; sistemas não-integráveis; introdução ao teorema KAM; conexão com a mecânica quântica.

== Bibliografia ==

A referência básica será o livro Nivaldo A. Lemos, Mecânica Analítica (Editora Livraria da Física, São Paulo, 2007, 2^a edição); também serão abordados alguns tópicos mais avançados que constam apenas na versão em inglês que acaba de ser publicada: Nivaldo A. Lemos, Analytical Mechanics (Cambridge University Press, 2018).

Há muitos livros clássicos no assunto do curso, entre os quais citamos:

Classical Mechanics, H. Goldstein, Addison-Wesley, 2^a edição (1980).

Mechanics, L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Pergamon Press, 3^a ed. 1969.

O tratamento clássico da mecânica analítica com as ferramentas matemáticas mais modernas da geometria diferencial é Mathematical Methods of Classical Mechanics, V. I. Arnold, 2nd edition (Springer, 1989). Um grande livro, mas recomendado somente para quem tem gosto pela matemática abstrata.

Outro texto avançado, porém mais acessível a estudantes de física porque introduz gradualmente as ideias e técnicas da geometria diferencial moderna, é Classical Dynamics: A Contemporary Approach, J. V. José and E. J. Saletan (Cambridge University Press, 1998).

Um livro bem recente , cobrindo muitos temas e com vários exercícios resolvidos, é Analytical Mechanics, A. Fasano and S. Marmi (Oxford University Press, 2013). Deve-se ressaltar, no entanto, que este livro é matematicamente bem mais avançado do que a referência básica.

Um excelente livro de nível mais elementar, mas que cobre apenas uma parte da ementa da disciplina, é Classical Mechanics, J. R. Taylor (University Science Books, 2005).

== Avaliação ==

O curso é dividido em três módulos, ao final de cada um dos quais será aplicada uma prova. Pelo menos duas listas de exercícios serão distribuídas em cada módulo, que abrangerá dois ou três capítulos da referência básica.

Módulo 1: capítulos 1 e 2

Módulo 2: capítulos 3, 4 e 5

Módulo 3: capítulos 7, 8 e 9

Nos dois primeiros módulos, um exercício da primeira dessas listas será aplicado na forma de teste. No terceiro módulo, o teste consistirá num exercício da segunda lista. Os testes serão aplicados no final de uma aula, terão a duração de 40 minutos e peso de 20% na composição da nota de cada módulo. Portanto, as notas de cada módulo serão N_i=0,8 P_i + 0,2 T_i, i=1,2,3, onde P_i e T_i são as notas da prova e do teste referentes ao i-ésimo módulo, respectivamente. A nota final será a média aritmética das notas de cada módulo. O aluno cuja média final for igual ou superior a 6 estará aprovado; caso a média seja igual ou superior a 4 e inferior a 6, o aluno estará habilitado para realizar a VS; se a média for inferior a 4 o aluno estará reprovado. As listas de exercícios versarão sobre um ou mais capítulos da referência básica.

Lista 1: capítulo 1

Lista 2: capítulo 2

Lista 3: capítulos 3 e 4

Lista 4: capítulo 5

Lista 5: capítulo 7

Lista 6: capítulo 8

Lista 7: capítulo 9

== Datas das provas e testes ==

T1: 03/04 (um problema da Lista 1)

P1: 10/04 (capítulos 1 e 2)

T2: 08/05 (um problema da Lista 3)

P2: 22/05 (capítulos 3, 4 e 5)