Objetivos de Aprendizagem

Estes objetivos de aprendizagem foram adaptados de um documento similar da Universidade do Colorado, onde foi criado por um grupo de professores. alguns dos quais diretamente envolvidos com a pesquisa em ensino. Esta lista representa o que se quer que um estudante seja capaz de fazer ao final da disciplina (é um complemento do conteúdo que se espera seja coberto).

1. Fazer conexão entre Matemática e Física: O estudante deve ser capaz de traduzir uma descrição da física de um problema de mecânica no nível do 4o período para a equação matemática necessária para resolvê-lo. Deve ser capaz de explicar o significado físico da formulação matemática e da solução formal de um problema de mecânica. Deve ser capaz de conseguir visualizar a física de um problema de mecânica a partir de sua formulação matemática.

2. Visualizar o problema: O estudante deve ser capaz de determinar quais os parâmetros físicos relevantes de um problema, de produzir uma representação esquemática da situação física (inclusive linhas equipotenciais, curva de ressonância, um pêndulo com um ângulo como coordenada, por exemplo) e de identificar as coordenadas apropriadas para um problema específico.

3. Intuir e confirmar a solução: Quando apropriado para um problema, o estudante deve ser capaz de articular suas expectativas sobre sua solução, tais como quais devem ser a direção e sentido de uma força, qual a dependência que deve ter nas coordenadas, e o seu comportamento a grandes distâncias ou após um longo tempo. Em todos os problemas, o estudante deve ser capaz de justificar ser razoável a solução encontrada usando métodos tais como apelo à simetria da solução, teste de situações limites ou casos especiais, estabelecer a relação com casos de solução já conhecida, verificar as unidades, fazer análise dimensional, e/ou verificar a escala/ordem de grandeza da resposta.

4. Organizar o conhecimento: O estudante deve ser capaz de articular as ideias principais de cada capítulo, seção e/ou aula, indicando desta forma ter organizado o conhecimento do conteúdo. Deve ser capaz de usar esta organização para recuperar a informação que necessita ser aplicada para a resolução de um particular problema, e para fazer conexões e estabelecer ligações entre diferentes conceitos.

5. Comunicar: O estudante deve ser capaz de justificar e explicar seu raciocínio e/ou a forma com que abordou um problema ou uma situação física, seja de forma escrita ou oral. Deve ser capaz de escrever a solução de um problema de forma bem organizada, clara e fácil de ler.

6. Apoiar-se em conteúdo anterior: O estudante deve ser capaz de aprofundar sua compreensão da física básica – a disciplina vai pressupor algum conhecimento do conteúdo estudado na disciplina anterior.

7. Usar técnicas de resolução de problemas: O estudante deve continuar a desenvolver suas habilidades de escolher e aplicar a técnica de resolução de problemas apropriada a um problema específico. Isto indicará que ele aprendeu as características essenciais de diferentes técnicas de resolução de problemas (e.g., resolução de equações diferenciais com coeficientes constantes, aplicação das condições iniciais ou de contorno apropriadas, etc). Deve ser capaz de aplicar estas abordagens à resolução de problemas em contextos novos (i.e., resolver problemas em contextos distintos daqueles com os quais teve contato nas listas de exercícios ou durante as aulas), indicando que compreendeu as características essenciais da técnica em vez de apenas ter memorizado o algoritmo de sua aplicação. O estudante deve se assegurar ser capaz de não se prender a esquemas de resolução anteriormente usados. Deve ser capaz de justificar a abordagem escolhida na resolução de um problema específico.

…7a. Vetores e sistemas de coordenadas: O estudante deve ser capaz de calcular produtos escalares e vetoriais e resolver equações vetoriais sem precisar consultar livros ou anotações, e deve demonstrar fluência no uso destas ferramentas matemáticas. Deve reconhecer se uma variável é escalar ou vetorial, e distingui-las com clareza em seu trabalho escrito. Deve ser capaz de projetar um vetor dado calculando suas componentes em diferentes sistemas de coordenadas, e de escolher o sistema de coordenadas mais apropriado para a resolução de um problema dado. Deve ser capaz de calcular integrais de superfície e de volume nos sistemas de coordenadas cartesiano, cilíndrico e esférico (i.e., saber como expressar dA e dV nestes sistemas de coordenadas e como aplicar este conhecimento numa situação dada).

…7b. Aproximações: O estudante deve ser capaz de reconhecer quando uma aproximação será útil, e de usá-la de forma efetiva (e.g., reconhecer quando a resistência do ar é um efeito pequeno ou desprezível). Deve ser capaz de indicar quantos termos de uma expansão em série devem ser mantidos para obter uma solução correta até uma ordem dada, e deve ser capaz de identificar quando é apropriado usar uma expansão de Taylor e qual deve ser a variável de expansão num problema dado.

…7c. Expansões em série: O estudante deve ser capaz de reconhecer quando é apropriado usar uma expansão em série para obter uma solução aproximada, e de expandir uma série de Taylor além da ordem zero.

…7d. Equações diferenciais: Dada uma situação física, o estudante deve ser capaz de escrever a equação diferencial que modela esta situação, identificar o método a usar para sua solução e calcular corretamente a resposta. Deve ser capaz de identificar o tipo de equação diferencial (homogênea, linear versus não-linear, com coeficientes constantes ou variáveis, a ordem da equação, etc.) e escolher o método correto de resolver este tipo de EDO. Deve ser capaz de explicar como a identificação do tipo de equação diferencial ajuda a determinar o método de solução que deve ser aplicado.

…7e. Superposição: O estudante deve reconhecer que num sistema linear as soluções podem ser formadas pela superposição de componentes.

…7f. Representação matricial: O estudante deve ser capaz de reconhecer quando se deve usar uma matriz na descrição de um sistema físico, inclusive como uma grandeza que descreve propriedade física de um objeto (como o tensor de inércia.)

8. Escolher a estratégia de resolução de problemas: O estudante deve ser capaz de se basear num conjunto organizado de conhecimento de conteúdo (OA#4), e aplicar técnicas de resolução de problemas (OA#7) a este conhecimento de modo a organizar e desenvolver análises profundas de problemas físicos. Deve ser capaz de conectar as partes de um problema de modo a chegar à solução final. Deve reconhecer que passos incorretos são valiosos para o aprendizado de um conteúdo, ser capaz de se recobrar de um erro cometido, e persistir trabalhando na solução mesmo sem ter ainda necessariamente visto o caminho para a solução quando inicia o ataque ao problema. O estudante deve ser capaz de articular o que é necessário ser resolvido num problema específico e reconhecer quando a solução foi alcançada.

9. Desenvolver maturidade intelectual: O estudante deve aceitar a responsabilidade pelo seu próprio aprendizado. Deve estar consciente do que compreende e do que não compreende a respeito de um fenômeno físico e/ou de uma classe de problemas. Deve ser capaz de articular onde encontrou dificuldade num problema, e tomar a atitude de buscar ações que permitam ultrapassar esta dificuldade.

O estudante deve ser capaz de…

-… identificar a dimensão de uma grandeza a partir de uma equação que a defina; identificar os parâmetros relevantes de um problema físico; usar a análise dimensional para construir escalas “naturais” para as grandezas dimensionais de um problema físico a partir destes parâmetros relevantes.

-… identificar casos limites simples de um problema físico complexo e avaliar o comportamento de grandezas relevantes nestes limites; usar esta avaliação para selecionar respostas possíveis de um problema de solução desconhecida.

O estudante deve ser capaz de…

-… calcular produtos escalares e vetoriais sem consultar livros ou materiais externos, e deve mostrar fluência no uso destas ferramentas matemáticas; deve reconhecer se uma variável é escalar ou vetorial, e esta distinção deve estar explícita em seu trabalho escrito; deve ser capaz de projetar um vetor em suas components em diversos sistemas de coordenadas; deve ser capaz de calcular integrais de superfície e de volume em sistemas de coordenadas cartesiano, cilíndrico e esférico (i.e., saber as expressões para dA e dV nestes sistemas de coordenadas e como aplicá-las numa dada situação).

-… reconhecer que x-ponto é o mesmo que dx/dt, e identificar estes termos matemáticos com a ideia física de taxa de variação da coordenada x da posição com o tempo; deve reconhecer de forma similar que v-ponto é o mesmo que dv/dt, e identificar estes termos matemáticos com a ideia física de taxa de variação da velocidade com o tempo; deve reconhecer que, em 1D, x-ponto = v e v-ponto = a; deve ser capaz de explicar o significado físico de posição, velocidade e aceleração e descrever como estes conceitos estão relacionados.

-… desdobrar uma equação vetorial em duas (2D) ou três (3D) equações – uma para cada componente.

-… resolver problemas usando coordenadas polares planas (2D); deve ser capaz de desenhar (representar) r-chapéu e fi-chapéu em um ponto genérico do espaço 2D e exprimi-los em termos dos unitários cartesianos x-chapéu e y-chapéu; deve ser capaz de calcular as derivadas temporais de r-chapéu e fi-chapéu e exprimi-las em termos de r-chapéu, fi-chapéu e fi-ponto; deve ser capaz de desenhar (representar) r-chapéu, fi-chapéu e teta-chapéu em um ponto genérico do espaço 3D e exprimi-los em termos dos unitários cartesianos x-chapéu, y-chapéu e z-chapéu.

O estudante deve ser capaz de…

-… dada uma situação física, usar as leis de Newton para escrever a equação diferencial ordinária apropriada (equação de movimento), identificar o método de solução e calcular corretamente a resposta quando as forças são do tipo F(t). Ele deve ser capaz de identificar o tipo de equação diferencial (homogênea, linear vs. não-linear, a coeficientes constantes ou variáveis, a ordem da equação – se de 1ª, 2ª ou de ordem superior, etc) e selecionar o método correto de resolução deste tipo de EDO. O estudante deve ser capaz de explicar como a identificação do tipo de equação diferencial orienta a seleção do método de resolução que deve ser usado.

-… usar as condições iniciais do problema como parte do processo de resolução de EDOs.

-… identificar (e desenhar, representar) um sistema de coordenadas apropriado antes de começar a escrever a EDO que modela a situação física em pauta.

-… dar significado físico à solução matemática de uma equação diferencial, o que inclui o teste de casos limites e a representação gráfica da solução.

-… determinar se uma EDO é ou não separável, de separá-la quando possível, e de resolver EDOs separáveis.

-… resolver EDOs lineares de 1ª ordem a coeficientes constantes.

-… conhecer as soluções de várias EDOs mais comuns na ponta da língua (i.e. ser capaz de escrever a solução da EDO sem precisar fazer cálculos ou consultar materiais externos). Estas incluem as EDOs cujas soluções sejam sen/cos, exponenciais, ou uma função linear.

O estudante deve ser capaz de…

-… traduzir uma situação física dada envolvendo um objeto que se move sob ação de arrasto atmosférico (resistência do ar) na equação diferencial correta, usando o sinal apropriado para cada termo da equação.

-… prever a direção e sentido da força de arrasto se lhe for dado o vetor velocidade do objeto em movimento.

-… descrever o conceito de velocidade terminal e de calculá-la, dado um objeto e a forma funcional do arrasto (i.e. quadrático, linear, ou ambos os termos).

-… explicar o que são os arrastos quadrático e linear e reconhecer que são casos limites da equação completa para o arrasto, que é uma combinação de ambos.

-… listar as quantidades das quais a força de arrasto depende (e.g. velocidade do objeto, viscosidade do fluido, forma do objeto, etc.) e de prever se esta força aumenta ou diminui quando o valor destas quantidades varia.

-… representar qualitativamente o trajeto do objeto, conhecida a equação diferencial envolvendo a força de arrasto e as condições iniciais.

O estudante deve ser capaz de…

-… reconhecer quando uma aproximação é útil, e usá-la eficazmente (eg., reconhecer quando a resistência do ar é um efeito pequeno ou desprezível), indicar quantos termos de uma solução em série devem ser mantidos para se obter uma resposta com significado físico, e identificar quando é apropriado fazer uma expansão de Taylor e qual a variável de expansão para um problema dado.*

-… escrever a expansão em série de Taylor em torno de zero para as funções mais comuns (cos, sen, exp, 1/(1+x), sqrt(1+x) , ln(1+x)) e exprimir a solução tanto como uma lista de termos quanto usando a notação de somatório.

-… reconhecer que a série de Taylor é frequentemente usada quando uma variável é «1 e escolher a variável (ou combinação de variáveis) adequada para a expansão numa situação dada.

-… explicar a condição para que uma expansão de Taylor seja exata, uma boa aproximação, e identificar quando ela não é uma boa aproximação (e.g. perto do ponto de expansão ela é uma boa aproximação com apenas poucos termos, mas para pontos mais distantes mais termos são necessários para se ter uma boa aproximação ao valor verdadeiro. Para que o resultado seja exato num ponto qualquer, pode-se precisar de um número infinito de termos.)

O estudante deve ser capaz de…

-… escrever a equação de movimento vetorial de uma partícula carregada sob ação de campos elétricos e magnéticos; escolher um sistema de coordenadas adequado ao problema e projetar a equação vetorial em suas componentes.

-… desacoplar as equações de movimento para as componentes para o caso de campo elétrico ou magnético constante e uniforme transformando uma delas numa EDO de ordem superior ou usando a técnica dos números complexos; resolver a EDO resultante do desacoplamento.

-… escrever um número complexo nas seguintes representações: x+iy, (x,y), re^(i theta), e como um ponto ou vetor no espaço bidimensional (2D); mover-se fluentemente entre estas diferentes representações e escolher a mais apropriada para resolver um problema específico.

-… partir uma equação envolvendo números complexos em duas equações – uma para a parte real e outra para a imaginária.

O estudante deve ser capaz de…

-… reconhecer as condições para que o momento linear e o momento angular de um sistema físico sejam conservados e usar estas leis de conservação para comparar as situações inicial e final de um processo envolvendo este sistema.

-… usar a conservação do momento linear, quando aplicável, para obter a equação de movimento de um sistema de massa continuamente variável - em particular de um foguete.

-… determinar posição e velocidade do centro de massa (CM) de um sistema físico com distribuição discreta de massas, conhecidas as posições e massas de seus componentes ou conhecido o momento linear total do sistema.

-… determinar a posição do CM de um sistema físico com distribuição contínua de massas que obedeça a alguma simetria simples.

-… encontrar, quando existir, origem em relação à qual o torque externo seja nulo.

-… calcular o momento de inércia de um sistema com distribuição discreta de massas em relação a um eixo fixo, em particular um eixo que passe pelo CM.

-… usar o momento de inércia e a conservação do momento angular, quando houver, para determinar a velocidade angular de rotação do sistema em torno de um eixo fixo.

O estudante deve ser capaz de…

-… calcular o trabalho realizado por uma força de expressão analítica conhecida num trajeto dado parametricamente.

-… determinar, dada a expressão analítica de uma força dependente de posição, se ela é conservativa.

-… determinar a expressão analítica da energia potencial associada a uma força conservativa de expressão analítica conhecida.

-… determinar a expressão analítica de uma força conservativa associada a uma energia potencial de expressão analítica conhecida.

-… usar as equipotenciais de uma energia potencial para determinar direção, módulo e sentido de seu gradiente.

-… em um sistema conservativo unidimensional, usar a expressão analítica ou gráfica da energia potencial para determinar os pontos de equilíbrio e sua natureza.

O estudante deve ser capaz de…

-… resolver EDOs lineares de 2a ordem a coeficientes constantes.

-… escrever a lei de Hooke e explicar o significado de cada grandeza envolvida; explicar o significado físico desta equação.

-… explicar, usando a ideia de uma série de Taylor, porque a lei de Hooke é uma boa aproximação para a força nas vizinhanças de um ponto de equilíbrio estável; dar exemplo de um sistema físico que obedece à lei de Hooke e que não é uma mola.

-… escrever a equação diferencial para o movimento harmônico com e sem amortecimento e forçamento, e explicar o significado físico de cada termo desta equação.

-… desenhar o diagrama de fase para uma oscilação dada matemática ou fisicamente, e vice-versa; explicar o significado físico dos pontos de cruzamento deste diagrama com os eixos x e x-ponto.

-… explicar, tato matematica quanto fisicamente, como os movimentos subamortecido, superamortecido e criticamente amortecido podem ser modelados e/ou ser produzidos como solução de uma mesma equação diferencial.

-… determinar para uma situação física dada se o movimento sera super, sub, ou criticamente amortecido.

-… prever se a frequência aumenta, diminui, ou permanece a mesma quando comparamos uma oscilação amortecida com o movimento na ausência de amortecimento.

-… usar exemplos do mundo real (cotidiano) para explicar como o movimento criticamente amortecido pode ser útil na prática.

-… explicar o conceito de ressonância tanto matematica quanto conceitualmente.

-… representar graficamente o movimento de um oscilador harmônico simples, com e sem amortecimento e forçamento, num mesmo conjunto de eixos, com as amplitudes relativas e frequências qualitativamente corretas.

O estudante deve ser capaz de…

-… identificar problemas físicos ou geométricos que devem ser resolvidos através do cálculo variacional.

-… dado um funcional por uma integral, escrever a(s) equação(ões) de Euler-Lagrange que determina(m) a função que o torna estacionário.

O estudante deve ser capaz de…